Nació en Ica el 19 de diciembre de1805. Sus padres fueron Raymundo Elías de la Quintana y Manuela Carbajo Galagarza.
Político, empresario y agricultor. Fue nombrado Prefecto de Lima; después durante el gobierno directorial del general Manuel Ignacio de Vivanco, quedó a cargo del Poder Ejecutivo en 1843, cuando este se marchó a combatir en Arequipa al general Ramón Castilla. Fué Presidente del Perú por un breve periodo de junio a agosto de 1844 y en medio de una época de anarquía y guerra civil, pero al triunfar Castilla, el caudillo revolucionario, en Carmen Alto, Arequipa, dejó el gobierno a Manuel Menéndez, vicepresidente del Consejo de Estado; y durante la breve gestión que este cumplió, le fueron confiadas las carteras de Guerra y Hacienda.
Como filántropo, se preocupó por la educación intermedia de la juventud, y para tal fin se asoció con el español Nicolás Rodrigo invirtiendo parte de su fortuna en fundar en Lima el Colegio Nacional Nuestra Señora de Guadalupe. Elegido diputado por Ica en 1845 y consejero de Estado, impulsó la primera ley de presupuesto. Negoció un tratado de paz y comercio que puso fin a las disputas originadas por la disolución de la Confederación y el conflicto de 1841. Fundó el Club Progresista, para postular su candidatura a la presidencia de la República y para servir a su campaña editó El Progreso (1849-1851), semanario inspirado por un liberalismo modernizante. Primer candidato civil a la presidencia de la República del Perú en 1850, pero fue derrotado en elecciones controvertidas por el general José Rufino Echenique, y asumió una actitud de franca oposición. Elías no tuvo reparos en censurar abiertamente los despilfarros y la corrupción dominante en el gobierno de Echenique, a través de sus famosas cartas publicadas en El Comercio. Fue encarcelado y desterrado a Guayaquil. Pasó a Tumbes para iniciar una revolución en 1853. Frustrado aquel intento, se traslada a Ica para renovarlo, pero fue derrotado en Saraja en 1854. Huyó a Chile; pero luego se presentó en Moquegua para colaborar en la revolución que Castilla había iniciado en Arequipa, organizó una división; y derrotado en el Alto del Conde, se retiró con sus fuerzas hacia Arequipa, ciudad en la que derrotó a los contingentes gobiernistas. Tras la subida de Castilla al poder fue designado ministro de Hacienda en 1855, período en el cual tuvo que pedir licencia por enfermedad; se fue a la sierra para atender su curación. Luego, en 1956 fue nombrado ministro plenipotenciario en Francia. Al regresar postula nuevamente a la presidencia de la República en 1858, pero al no alcanzar el millar de votos definitivamente se apartó de la política. Se dedica por entero a la agricultura siendo el primer exportador de algodón e innovando en el cultivo de la vid. Falleció en la ciudad de Lima el 3 de diciembre de 1867.
